Passive Maßnahmen zur Schwingungsminderung am Beispiel einer Tragwerksstruktur mit gelagerter Maschine :: Tutorial (Fraunhofer LBF)

Im Betrieb von Maschinen treten häufig unerwünschte Schwingungen auf. Diese Schwingungen können die Funktion der Maschine beeinträchtigen und im ungünstigsten Fall zu vorzeitigem Materialversagen führen. Darüber hinaus stellen die resultierenden Vibrationen und die damit einhergehende Schallentwicklung eine Belastung für die Umgebung dar. Insbesondere im Resonanzfall, wenn die Anregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz des Systems übereinstimmt, führt dies zu einer Verstärkung der resultierenden Schwingungsamplituden. Es ist daher eine wichtige Aufgabe der Maschinendynamik solche unerwünschten Schwingungen durch geeignete konstruktive Maßnahmen zu reduzieren. Die resultierenden Schwingungen beschränken sich nicht auf einzelne Bauteile, sondern auch angrenzende Strukturen werden durch die Wechselwirkungen von Kräften und Bewegungen zu Schwingungen angeregt. Daher ist nicht nur das dynamische Verhalten der Maschine selbst zu betrachten, auch die Eigenschaften des Aufstellungsortes – insbesondere der Lagerstellen – haben einen großen Einfluss auf das Schwingungsverhalten des Gesamtsystems. Die AdaptroSim Toolbox stellt Inhalte für Matlab und Simulink zur Verfügung, mit denen das dynamische Verhalten modelliert und der Einfluss konstruktiver Maßnahmen auf dieses Verhalten untersucht werden kann. Im Folgenden wird die Vorgehensweise am Beispiel eines Verbrennungsmotors in einem Schiffsrumpf gezeigt (siehe Abbildung 1). Dazu wird das reale System in ein geeignetes Modell überführt und das dynamische Verhalten des Gesamtsystems simuliert. Der Motor wird zunächst als fest mit der elastischen Struktur des Aufstellungsortes verbunden betrachtet und der Einfluss der maschineninduzierten Schwingungen an diesem Modell ermittelt. Anschließend werden mögliche passive Verfahren zur Schwingungsreduktion (Schwingungsisolation durch Optimierung der Lagerstellen, Schwingungstilgung durch eine geeignete Zusatzmasse) untersucht und das mechanische System um entsprechende Komponenten erweitert.

Um einen äquivalenten Einmassenschwinger zu erhalten, werden unter Berücksichtigung der Biegeform sowie der potentiellen und kinetischen Energie eine äquivalente Masse und eine äquivalente Steifigkeit berechnet. Die äquivalente Masse

ergibt sich für die in Abbildung 3 dargestellte sinusförmige Eigenform an der Stelle zu = 211.01 kg. Unter Berücksichtigung der konzentrierten Gesamtmasse des Motors m_m beträgt die äquivalente Gesamtmasse = 811.01 kg. Die äquivalente Steifigkeit beträgt = 6.649e+06 N/m. Als Dämpfung der Struktur wird eine hysteretische Dämpfung von etwa η = 4% angenommen. Die äquivalente modale Dämpfung ergibt sich damit zu 1000 kg/s.[3]

Die Zeitbereichssimulationen werden mit Simulink durchgeführt. Dazu wird das in Abbildung 4 dargestellte Modell erstellt, wobei die Simulationen mit dem Fixed-step Solver und einer festen Samplingrate von ts = 0.001 s für eine Zeit von 0 bis t_end = 30 s durchgeführt werden. Zur Implementierung des Modells werden die Blöcke Stiffness1DOF, RigidBody1DOF und UnbalancedMassExcitation aus der „Structure and Vibration“ Toolbox verwendet. Diese werden mit den zuvor ermittelten Werten parametrisiert. Für den Unwuchterreger wird ein Drehzahlbereich von 0 bis 3000 rpm und einer Beschleunigungsrate von 100 1/min/s gewählt. Die Parameter der Blöcke sind in Tabelle 1 zusammengefasst:

Zur Weiterverarbeitung der Daten außerhalb von Simulink werden die Signale mit Hilfe des Simulink To Workspace Blocks als „Structure with Time“ exportiert (simout_0). Abbildung 5 zeigt die Ergebnisse der Simulation im Zeitbereich. Die oberen beiden Achsen zeigen die Drehzahl des Motors sowie die aus der Unwucht resultierende Kraft. Die untere Achse gibt die Geschwindigkeit des Balkens an der Position 1 wieder. Es ist deutlich erkennbar, dass diese nach etwa 9 Sekunden stark ansteigt. Dies ist auf die direkte Kopplung der Maschinenmasse und des Balkens zurückzuführen.

% Display simulation data in time domain
time_0 = simout_0.time;
rpm_0  = simout_0.signals.values(:,1);
F_0    = simout_0.signals.values(:,2);
x_0    = simout_0.signals.values(:,3);

h = figure();
subplot(3,1,1);
title('Simulation result - Time domain')
ma_graphics.plot(time_0,rpm_0);
ylabel('rpm');

subplot(3,1,2);
ma_graphics.plot(time_0,F_0);
ylabel('F');

subplot(3,1,3);
ma_graphics.plot(time_0,x_0);
ylabel('$\dot{x}$','Interpreter','latex','FontSize',15);
xlabel('time');
ylim([-13,13]);
ah = findobj(h,'type','axes');
set(ah,'XGrid','on','YGrid','on');

Um die Ergebnisse genauer betrachten zu können, werden im Folgenden die Simulationsergebnisse mit Hilfe der Funktion ma_frequency_response in den Frequenzbereich transformiert.

% Display simulation results in frequency domain
ma_frequency_response(time_0, F_0, x_0,{0,50});

Die Resonanz bei einer Frequenz von ca. 14 Hz ist deutlich zu erkennen. Die beobachtete Resonanz entspricht dem Ergebnis der analytisch berechneten Eigenfrequenz des Systems = 14.411 Hz.

Durch die Verwendung von elastischen Lagern können die dynamischen Kräfte, die von einer Maschine in eine Struktur eingeleitet werden, reduziert werden. Im Folgenden wird die Vorgehensweise anhand des in diesem Tutorial betrachteten Schiffsmotors gezeigt. Neben dem dynamischen Verhalten der Maschine müssen auch die Eigenschaften der Grundstruktur, in diesem Fall des Schiffes, berücksichtigt werden. Bei einer starren Lagerung, wie sie im vorherigen Abschnitt betrachtet wurde, sind die Verschiebungen der Struktur x_s und des Motors x_m identisch. Durch ein zusätzliches Feder-Dämpfer-Element (k_i, d_i) kann eine Schwingungsisolation erreicht werden. Hierfür ist eine geeignete Wahl der Steifigkeits- und Dämpfungsparamter entscheidend.

Zur Beschreibung der Isolationswirkung wird das System aus Motormasse und Isolator-Feder-Dämpfer zunächst idealisiert betrachtet (siehe Abbildung 7).

Das Übertragungsverhalten des in Abbildung 7 dargestellten Isolators wird durch die Funktion

wiedergegeben. Dabei gilt und . Die Isolationswirkung setzt oberhalb der effektiven Frequenz ein.
Abbildung 8 zeigt das Übertragungsverhalten des Isolators in Abhängigkeit zum Dämpfungsfaktor ξ. Für den ungedämpften Fall (ξ = 0) geht die Amplitude in der Resonanz gegen unendlich. Oberhalb der Isolationsfrequenz fällt die Transmission mit einem Wert von 40 dB/Dekade ab. Durch Erhöhung der Dämpfung wird die Amplitude an der Stelle der Resonanz gemindert wodurch jedoch gleichzeitig der Isolationseffekt reduziert wird.[4]

Um eine Schwingungsisolation durch eine elastische Lagerung des Motors zu modellieren, wird das in Abbildung 2 dargestellte Modell um ein Feder-Dämpfer-Element erweitert (siehe Abbildung 9). Die Steifigkeit der Isolation k_i ist unter Berücksichtigung der Maschinenmasse m_m = 600 kg zu wählen. Dabei ist es wichtig, k_i so zu wählen, dass die Isolationswirkung den Betriebsdrehzahlbereich abdeckt. Im konkreten Fall bedeutet dies, dass die Isolationsfrequenz ω_i so zu wählen ist, dass die effektive Isolationswirkung () unterhalb der unteren Drehzahlgrenze von 800 rpm bzw. einer Kreisfrequenz von ω = 83.776 Hz einsetzt. Unter der Annahme, dass k_i < k_s kann die gesuchte Isolationsfrequenz mit bestimmt werden. Daraus folgt, dass die Steifigkeit kleiner als 2.1055e+06 N/m sein muss. In diesem Beispiel wird ein Wert von 2000000 N/m gewählt. Für diese Konfiguration ergibt sich eine Isolationsfrequenz von = 9.1888 Hz.

Die Dämpfung der Isolation d_i ist wichtig um die Amplitude der Resonanzfrequenz zu begrenzen, da die Anregung diese beim Hochlauf hindurchfährt.
Andererseits ist es wichtig die Dämpfung im Hinblick auf die Isolationswirkung nicht zu groß zu wählen. Im Folgenden wird ein Dämpfungsfaktor ζ von ca. 2% angenommen. Daraus ergibt sich mit die Dämpfungskonstante des Isolators d_i. Im vorliegenden Beispiel wird eine Dämpfungskonstante d_i = 1400 kg*s angenommen.

% Display simulation data in time domain

time_i = simout_i.time;
rpm_i  = simout_i.signals.values(:,1);
F_i    = simout_i.signals.values(:,2);
x_i    = simout_i.signals.values(:,3);

h = figure();
subplot(3,1,1);
title('Simulation result - Time domain')
ma_graphics.plot(time_i,rpm_i);
ylabel('rpm');

subplot(3,1,2);
ma_graphics.plot(time_i,F_i);
ylabel('F');

subplot(3,1,3);
ma_graphics.plot(time_i,x_i);
ylabel('$\dot{x}$','Interpreter','latex','FontSize',15);
xlabel('time');
ylim([-6,6]);
ah = findobj(h,'type','axes');
set(ah,'XGrid','on','YGrid','on');

Im Folgenden werden die Ergebnisse im Frequenzbereich betrachtet (Abbildung 12) und die Simulationsergebnisse des elastisch gelagerten Motors mit denen des starr verbundenen Motors verglichen. Durch die elastische Lagerung wurde die Resonanzfrequenz nach 32 Hz verschoben. Diese liegt zwar im Betriebsbereich der Anregung, hat jedoch eine deutlich geringere Amplitude. Bei 8 Hz tritt eine zusätzliche Resonanz auf, die jedoch außerhalb des Betriebsbereiches liegt.

% Display simulation results in frequency domain

[FREQ_0,AMPL_0,PHAS_0] = ma_frequency_response(time_0, F_0, x_0,{0,50},'window',true);
[FREQ_i,AMPL_i,PHAS_i] = ma_frequency_response(time_i, F_i, x_i,{0,50},'window',true);

figure();
ma_graphics.semilogy(FREQ_0,AMPL_0);
hold on;
ma_graphics.semilogy(FREQ_i,AMPL_i);
grid on
xlabel('Frequency in Hz')
ylabel('Amplitude in m/N')
legend('Stiff coupling','Isolation','Location','SouthWest')
xlim([5 50])

% display operation range
fu_min = 13;
fu_max = 33;

rectangle('Position',[fu_min,1e-6,fu_max-fu_min,1.9e-4],'FaceColor',[0 .5 .5 0.2],'EdgeColor','b', 'LineWidth',1);
% push rectangle (last plot) to the back
h = get(gca,'Children');
set(gca,'Children',[h(2:end)',h(1)]);
text(14,1.5e-6,'Operation range')

Die Klasse ma_mosys kann verwendet werden um Mehrmassenschwinger aufzubauen und die Schwingungseigenschaften des Systems zu analysieren.
Hierfür wird zunächst ein Objekt der Klasse mit den entsprechenden Systemmatrizen (jData, kData) erstellt. Anschließend wird das System in den Zustandsraum (State-Space Modell) überführt und die Eigenwerte berechnet.

% Define the mass matrix of the system, where the first entry defines the mass annotation
jData = [1 m_s;
         2 m_m];

% Define arrangement of the masses and the spring and damper values of the respective connections
kData = [1 inf k_s d_s; 
         1 2   k_i d_i];

% Force application points of the system
originFvalue = 2;

% Output velocity masses of the system
outputPvalue = 1;

system = ma_mosys(jData,kData,'originF',originFvalue,'outputP',outputPvalue);

% Create the state-space model
system.getSS;

% Use the matlab built-in function eig to calculate the eigen values
eigenValues = eig(system.SS);
eigenFrq_i = unique(abs(eigenValues))/(2*pi);

Abbildung 13: Abgleich des Simulink-Modells mit der analytischen Lösung

Vibrationsminderung durch einen Schwingungstilger

Zur Simulation des Tilgers wurde das Simulinkmodel aus Abbildung 4 um eine Tilgermasse sowie ein Feder-Dämpfer-Element erweitert (siehe Abbildung 16).

Es wurde eine Tilgermasse m_t von 100 kg angenommen. Dies entspricht einem Massenverhältnis m_t/m_ges von ca. 12 %. Die Steifigkeit k_t wurde in einem ersten Schritt mit abgeschätzt. Dies ergibt einen Wert von 8.1984e+05 N/m. Als Dämpfungskonstante des Tilgers wurden die Werte 905.45 kg*s und 3621.8 kg*s verwendet. Dies entspricht einem Dämpfungsfaktor von 5% bzw. 20%. Zusätzlich wurde die Simulation mit einem iterativ optimierten Wert für k_{t_opti} = 688660 N/m durchgeführt. Hierbei wurde ein Dämpfungsfaktor von 20% verwendet, was einer Dämpfungskonstante von 3319.4 kg*s entspricht. In Abbildung 17 sind die verschiedenen Simulationsergebnisse mit den Ergebnissen des starr gelagerten Motors ohne Tilger im Frequenzbereich gegenübergestellt.

% Display simulation data in time domain

simout_label = {'d_t = 5%','d_t = 20%','Iteratively optimised'};

[FREQ_0,AMPL_0,PHAS_0]=ma_frequency_response(time_0, F_0, x_0,{0,50},'window',true);
h = figure();
ma_graphics.semilogy(FREQ_0,AMPL_0);
hold on;
for ind = 1:3
    [FREQ_t(:,ind),AMPL_t(:,ind),PHAS_t(:,ind)]=ma_frequency_response(time_t(:,ind), F_t(:,ind), x_t(:,ind),{0,50},'window',true);
     ma_graphics.semilogy(FREQ_t(:,ind),AMPL_t(:,ind));
     grid on
     xlabel('Frequency in Hz')
     ylabel('Amplitude in m/N')    
end
legend('Stiff coupling',simout_label{:},'Location','best')
xlim([5 50])
a=rectangle('Position',[f_u_min,1e-6,f_u_max-f_u_min,1.9e-4],'FaceColor',[0 .5 .5 0.2],'EdgeColor','b', 'LineWidth',1);
% push rectangle (last plot) to the back
ah = get(gca,'Children');
set(gca,'Children',[ah(2:end)',ah(1)]);
text(14,1.5e-6,'Operation range')

Abbildung 18: Abgleich des Simulink-Modells mit der Analytischen Lösung